Exercices types

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $x\in  \mathbb{R}$. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : $\Leftrightarrow, \;   \Rightarrow, \;  \Leftarrow$.

1. $x^2 = 2\;  \ldots \; x = \displaystyle\sqrt{2}$.

2. $x>1 \ \ldots \ x\geq 1$ .

3. $e^x=1 \ \ldots  x=0$ .

Exercice 2

Soient $P$ , $Q$ et $R$ trois assertions. En dressant la table de vérité, vérifier si l'assertion suivante est vraie ou fausse.

$\textrm{non}( P \Rightarrow Q ) \equiv  \; P \textrm{ et } \textrm{non}(Q)$.

Exercice 3

Exprimer, en utilisant un langage formalisé, les assertions suivantes (il n'est pas demandé de démontrer les énoncés).

1. « Tout entier naturel est pair ou impair  ».

2. « Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel supérieur à $x$ ».

3. « Il existe au moins un nombre réel qui n'est pas rationnel ».

4. « Un produit de deux réels est nul si et seulement si l'un des deux est nul ».

5. « Tout réel est le cube d'un réel ».

6. « Le carré de tout réel est positif ».

Exercice 4

Soit $f\; :\; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction. Nier les assertions suivantes :

1. $x \le 2$.

2. $0 \lt  x \le 1$.

3. $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x) \not=0$.

4. $\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}$, $\bigl(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\bigr)$.